Variação do sinal da função quadrática

Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de se fazer isso, é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação.

 

A parábola pode tocar o eixo horizontal duas vezes, uma só vez ou não tocar esse eixo. Tudo depende das raízes da equação y = ax2 + bx + c.

 

 

26 - Seja a equação ax2+bx+c = 0. Dividindo ambos os membros por a≠0, vem:
x2 + (b/a)x + (c/a) = 0, Sendo x1 e x2 as raízes, temos as seguintes fórmulas para a soma S e o produto P das raízes: S = x1 + x2 = -b/a e P = x1 . x2 = c/a. Ora, poderemos escrever então: S = -b /a => -S = b/a. Substituindo os valores de b/a e c/a na equação acima, vem finalmente: x2 – Sx + P = 0, que é a forma (S,P) da equação do 2º grau.

Esta maneira de apresentar a equação do 2º grau é bastante conveniente, uma vez que permite conhecer a soma das raízes e o produto das raízes, sem resolver a equação. Este fato, facilita até a solução mental da equação, sem aplicação da fórmula de Bhaskara.

 

Exemplos: Verifique, mentalmente, as raízes das equações abaixo:

a) x2 – 5x + 6 = 0
Soma das raízes = S = 5 e Produto das raízes = P = 6
Ora, os números que somados dá 5 e multiplicados dá 6, são 2 e 3 que são as raízes da equação.

 

b) x2 – x – 12 = 0

S = 1 e P = -12. Os números que somados é igual 1 e multiplicados dá - 12 são: 4 e –3.

 

c) x2 +3x - 4 = 0
S = - 3 e P = -4. Então: as raízes da equação são, –4 e 1.

 

d) x2 + x - 999000 = 0
S = -1 e P = -999000. Então: as raízes são, -1000 e 999.

e) x2 – (1+ √3)x + √3 = 0. R: as raízes são, 1 e √3.

 

Com a forma (S,P) da equação do 2º grau [x2 – Sx + P=0], podemos resolver o problema inverso da determinação das raízes, ou seja, compor a equação cujas raízes são conhecidas.


Exemplo 1: Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 10 e 78?
Temos: S = 10+78 = 88 e P = 10.78 = 780
Logo, a equação é: x2 – 88x + 780 = 0.

Exemplo 2: Qual a equação cujas raízes são -4 e 100?
Temos: S = -4 + 100 = 96 e P = -4(100) = -400
Logo, a equação procurada é x2 - 96x – 400 = 0.

Exemplo 3: Qual a equação cujas raízes são w -1 e w+1?
Temos: S = w –1 + w + 1 = 2w => P = (w –1)(w+1) = w2-1
Logo, a equação procurada é: x2 – 2wx + w2 – 1 = 0.

Agora resolva, mentalmente, a equação x2 + 100x – 60000 = 0. R: -300 e 200.

 

27 - Exercícios Resolvidos

 

1 – [Ucsal] – Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:

a) o seu valor máximo é 1,25

b) o seu valor mínimo é 1,25

c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5

e) o seu valor máximo é 12,5.

Solução: Sabemos que a função quadrática pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x1)(x - x2), onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função. Portanto, poderemos escrever: y= a [x -(- 2)](x - 3)= a(x + 2)(x – 3) => y = a(x + 2)(x – 3) => 8 = a(-1 + 2)(-1 – 3) => 8= a (1)(-4) = 4. Daí vem: a = -2. A função é, então: y = -2(x + 2) (x - 3), ou y = (-2x -4) (x – 3) => y = -2x2 + 6x - 4x + 12 => y = -2x2 + 2x + 12. Temos então: a = -2, b = 2 e c = 12.

Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo. Isto já elimina as alternativas B e D. Vamos então, calcular o Vmáx da função:

? = b2-4ac = 22-4.(-2).12 = 4+96 = 100. Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5

 

2 – Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2

 

Solução: Seja x o número procurado. O quadrado de x é x2.O número x excede o seu quadrado, logo: x - x2. Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2. Podemos escrever: y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0. O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função). Assim, xv = - b/2.a = -1/2(-1) = 1/2. Logo, a alternativa correta é a letra A.

 

3 – Se f(x) = 1/[x(x+1)] com x≠0 e x≠-1, então o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) é:

a)100 b) 101 c) 100/101

d) 101/100 e) 1

 

Solução: Temos: f(x) = 1/[x(x+1)] = (1/x) – 1/(x+1). Portanto:
f(1) = 1/1 - 1/2
f(2) = 1/2 - 1/3
f(3) = 1/3 - 1/4
f(4) = 1/4 - 1/5
f(5) = 1/5 - 1/6.... f(99) = 1/99 - 1/100.

f(100) = 1/100 - 1/101.

 

Somando membro a membro as igualdades acima (observe que os termos simétricos se anulam entre si), vem: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) = 1 - 1/101 = 100/101.

4 – Ucsal – Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:

a) –5 b) –4 c) 0 d) 4 e) 5

 

Solução: Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1
Logo, 2.g(x) = - 4x +4 => g(x) = -2x + 2. Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4.

 

5 - O conjunto imagem da função y = 1 / (x - 1) é o conjunto:

a) R - { 1 } b) [0,2] c) R - {0} d) [0,2) e) (-2 ,2]

 

Solução: Se y = 1 / (x - 1), então x - 1 = 1 / y. Como o conjunto imagem é o conjunto dos valores de y, percebemos que y não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero. Logo, R - {0}.

 

6 - Determine o domínio da função y = (x+1) / (x - 2). Solução: Como não existe divisão por zero, vem imediatamente que: x - 2 0 <=> x2. Logo, o domínio da função será D = R - {2}, onde R é o conjunto dos números reais.

 

7 – Seja f uma função tal que f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2 para todo n inteiro positivo e f(1) = 2. Nestas condições, o valor de f(101) é:

(a) 102 (b) 101 (c) 86 (d) 76 (e) 52


Solução: Teremos, fazendo n = 1,2,3 4,... na expressão f(n+1) = [(2.f(n)+1)/2:
n = 1 ? f(1 + 1) = f(2) = [2.f(1) + 1] / 2 = [2.2 + 1] / 2 = 5 / 2
n = 2 ? f(2 + 1) = f(3) = [2.f(2) + 1] / 2 = [2.(5 / 2) + 1] / 2 = 3
n = 3 ? f(3 + 1) = f(4) = [2.f(3) + 1] / 2 = [2.3 + 1] / 2 = 7 / 2
n = 4 ? f(4 + 1) = f(5) = [2.f(4) + 1] / 2 = [2.(7 / 2) + 1] / 2 = 4
...........................................................................................................
Vamos resumir os valores obtidos acima:
f(1) = 2 = 4 / 2
f(2) = 5 / 2
f(3) = 3 = 6 / 2
f(4) = 7 / 2
f(5) = 4 = 8 / 2
….........................................................................................................

Observe que o denominador é sempre 2 e o numerador é o valor de n acrescido de 3 unidades, pois:
f(1) = 4 / 2 e 4 = 1 + 3
f(2) = 5 / 2 e 5 = 2 + 3
f(3) = 6 / 2 e 6 = 3 + 3
f(4) = 7 / 2 e 7 = 4 + 3
f(5) = 8 / 2 e 8 = 5 + 3

........................................................................................................
Observe que a lei de formação para um n inteiro positivo qualquer será então f(n) = (n + 3)/2
Portanto, o valor de f(101) será obtido fazendo n = 101, o que resulta:
f(101) = (101 + 3) / 2 = 104 / 2 = 52

27Exercícios Propostos

1 – Seja f uma função tal que f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2 para todo n inteiro positivo e f(1) = 2. Nestas condições, determine o valor de f(105) + f(109). Resposta: 110

 

2 – [PUC] Se f é uma função tal que f(1) = a, f(?) = b e f(x + y) = f(x) . f(y), ? x, y ? R, então f(2 + ?) é igual a:

a) a b) b c) a2b d) ab2 e) a + b

 

3 – [UFBA] Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:
a) x – 2 b) x – 6 *c) x - 6/5 d) 5x - 2 e) 5x + 2

 

4 - A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a:
a) 2x + 3 b) 3x + 2 c) (2x + 3) / 2 *d) (9x + 1) /2 e) (9x - 1) / 3

 

5 – Qual o domínio da função y = (x - 4)1/4? Resp: D = [4, +? ).

 

6 – Qual o conjunto imagem da função y = 1/x? Resp: Im = R – {0}.

 

7 – Qual o domínio da função y = (senx)/x? Resp: D = R – {0}.

 

8 – Sendo f(x) = senx e g(x) = logx, pede-se determinar o valor de g[f(? /2)]. Resp: 0

 

9 - Seja f uma função definida para todo x real, satisfazendo as condições:

f(3) = 2 e f(x+3) = f(x).f(3)

 

10 – Dadas as funções f(x)= 4x + 5 e g(x) =2x - 5k, ocorrerá gof(x)= fog(x) se e somente se k for igual a:


a) -1/3 b) 1/3 c) 0 d) 1 e) –1

 

11 – A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:

 

a) 16 b) 8 c) 4 d) –4 e) -16

 

12 - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:


a) 16 b) 8 c) 4 d) –4 e) –16

 

13 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:


a) 2 b) –2 c) 0 d) 3 e) –3

Sobre o Autor

foto Everton Alves

Formação Acadêmica: Licenciatura em Matemática e faço Especialização em Educação Matemática ambos pela UEFS.

Outros Conhecimentos: Entendo um pouco de HTML, CSS, PHP (Codeigniter e wordpress) e MYSQL.

Outros: Sou funcionário público e nas horas vagas me dedico à programação. Programo em PHP desde 2008.

Plavras-chave: funcao quadratica, funcao de 2 grau, equacao, zeros da funcao, grafico, parabola, baskara, delta, estudo do sinal
Enviado em: 28/04/2013 15h44min

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