Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora

Categoria: Material de apoio subcategoria: Ensino Médio
funções injetoras: elementos distintos do seu domínio possuem imagens distintas, sobrejetoras: os elementos do domínio estão ligados a um e somente um elemento do contradomínio e bijetoras: Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmo tempo
Função injetora ou biunívoca: Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio possuem imagens distintas, isto é: x1 x2 ⇔ f(x1) f(x2) ou f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
 
Exemplo1: A função y = 5x-2 é injetora pois dados x1 x2podemos escrever f(x1) - f(x2) 0. Portanto, (5x1 - 2) - (5x2 -2) = 5 (x1 - x2) ≠ 0, pois x1 ≠ x2.
 
Exemplo2: A função f:R->R definida por f(x)=x²+3 não é injetora, pois para x = 1 temos f(1) = 4 e para x = -1 temos f(-1) = 4.
 
Observando o diagrama, abaixo, vemos que os elementos do domínio estão ligados a um e somente um elemento do contradomínio, isto é, não existem elementos em A com imagens iguais. Portanto, se uma função f: A -> B é injetora, então n(A) ≤ n(B)
 
 
Função sobrejetora: É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.
?∀x∈B; ∃?x∈A; y = f(x) CD(f) = Im(f).
 
Exemplo1: A função dada por y = 3x + 2 de R em R é sobrejetora pois para cada valor de x do domínio, existe pelo menos um correspondente (imagem) no contradomínio.
 
Exemplo2: A função f:R->R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.
 
Observando o diagrama, abaixo, vemos que todos os elementos do contradomínio estão ligados a algum elemento do domínio, isto é, não sobram elementos no contradomínio. Portanto, se uma função f: A -> B é sobrejetora, então n(A) ≥ n(B).
 
 
Função bijetora: Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.
 
Exemplo1: A função f:R->R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora
 
Exemplo2: A função f : R→ R definida por y = 4x - 1 é uma função bijetora, pois é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
 
Observando o diagrama, abaixo, vemos que todos os elementos do domínio estão ligados a algum elemento do contradomínio e não existem elementos em A com imagens iguais. Portanto, se uma função f: A -> B é bijetora então n(A) = n(B)
 
 
Exercícios resolvidos
 
1) Verifique se a função f : Q→Q definida por f(x) = x2 + 1 é injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora e nem sobrejetora.
Solução: Se f é injetora, f(x1) = f(x2) x1 = x2. Daí, x12 + 1 =x22 + 1 ⇒ x12 =x22
Se f não é sobrejetora pois, para f(x) = 0 não existe x tal que x2 + 1= 0. Como f não é sobrejetora ela também não pode ser bijetora. Portanto ela é injetora.
 
2)Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x2, é injetora.
Solução: A função f(x)=x2 não é injetora pois, por exemplo 1 -1 mas f(1) = f(-1) = 1.
 
3)Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x + 1, é injetora.
Solução: A função f(x)=x+1 é injetora pois sempre x1≠x2, x1+1 ≠ x2+1.
 
4) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x2, é sobrejetora.
Solução: A função f(x) = x2 não é sobrejetora pois, por exemplo para f(x) = -1 não existe x tal que x2 = -1.
 
5) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x+1, é sobrejetora.
Solução: A função f(x) = x + 1 é sobrejetora pois para todo inteiro y existe um inteiro x tal que x + 1 = y.
 
6) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x+1, é bijetora.
Solução: A função f(x) = x+1 é bijetora pois, como vimos acima é injetora e sobrejetora.
 
7) Considere três funções f, g e h, tais que:
 
  1. A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade;
  2. A função g atribui a cada país, a sua capital;
  3. A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
 
a) f, g e h b) f e h c)g e hd) apenas h e) n.d.a.
 
Solução: Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 x2 ⇔ f(x1) f(x2) . Logo, podemos concluir que: f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital. h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos. Assim é que concluímos que a alternativa é a de letra C.
 
Exercícios propostos
 
1) Verifique em cada caso se a função é injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora e nem sobrejetora.
 
a) f(x) = -2x + 1 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = -2 d) f(x) = -2x3
e) f(x) = x9 f) f(x) = x4 + 2
 
2)Considere três funções f, g e h, tais que:
 
I - A função f atribui a cada pessoa do mundo, o seu nome;
II - A função g atribui a cada país, o seu idioma;
III - A função h atribui a cada número real, o seu triplo.
 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são bijetoras:
 
a) f, g e h b) f e h c) g e h d) f e g e) n.d.a.


Palavras-chave : função injetora sobrejetora bijetora exercicios

Everton Alves

Formação Acadêmica: Licenciatura em Matemática pela UEFS.
Outros Conhecimentos: Entendo um pouco de HTML, CSS, PHP (Codeigniter e wordpress) e MYSQL.
Outros: Sou funcionário público e nas horas vagas me dedico à programação. Programo em PHP desde 2008.

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