Função Inversa

Relacionandoo perímetro e o lado de um mesmo quadrado, podemos pensar em duas funções (f:A em B e g:B em A) bijetivas: uma que associa cada valor do perímetro ao lado (p = 4x) e outra que associa cada valor do lado ao perímetro (x = p/4). Onde x é o lado e p o perímetro do quadrado.
 
Se considerarmos o domínio e a imagem de f como D(f) = {1;2;3;4;5} e Im(f) = {4;8;12;16;20} o domínio e a imagem de g serão D(g) = {4;8;12;16;20} e Im(g) = {1;2;3;4;5}. Dessa forma teremos que: D(f) = Im(g); D(g) = Im(f) e f e g são bijetoras.
 
Quando isso acontece dizemos que a função g é a inversa de f. E será representada por f-1. Sendo assim teremos a seguinte definição: Dada uma função f : A -> B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1(y) = x. Veja a representação a seguir:
 
 
É óbvio então que:
a) para obter a função inversa, basta permutar as variáveis x e y.
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f.
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f.
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x, ou seja, à bissetriz do primeiro quadrante.
 
Exemplo1: Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Solução: Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3. Explicitando y em função de x, vem: 2y = x - 3 ⇒ y = (x - 3)/2, que define a função inversa da função dada. O gráfico abaixo representa uma função e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
 
 
Exemplo2: função f:R->R é bijetora tal que f(x) = -3x + 5. Vamos determinar a sua inversa.
Solução: Permutando x e y teremos que: x = -3y + 5. Explicitando y em função de x, vem: x – 5 = -3y ⇒ (x – 5)/-3 = y ⇒ y = (-x + 5)/3, que define a função inversa de f.
 
Testando alguns valores:
 
Por f: x = 0 ⇒ f(0) = 5 e Por f -1: x = 5 f -1(5) = 0.
 
Exemplo3: A função f: R -> R, definida por f(x) = x2 é inversível e sua inversa é f -1(x) = √x.
Solução: Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em R (conjunto dos números reais) não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível. Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R+dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a R, portanto a função não é inversível.

Sobre o Autor

foto Everton Alves

Formação Acadêmica: Licenciatura em Matemática e faço Especialização em Educação Matemática ambos pela UEFS.

Outros Conhecimentos: Entendo um pouco de HTML, CSS, PHP (Codeigniter e wordpress) e MYSQL.

Outros: Sou funcionário público e nas horas vagas me dedico à programação. Programo em PHP desde 2008.

Plavras-chave: função, injetora, sobrejetora, bijetora, exercicios, funcao inversa
Enviado em: 30/05/2012 23h17min

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