Equivalência de Capitais

O valor do dinheiro não é o mesmo em todas as épocas. Por exemplo, se o dinheiro rende 2% ao mês é indiferente pagar R$ 100,00 agora ou pagar 102,00 daqui um mês.
 
Por outro lado, é mais vantajoso pagar R$ 100,00 hoje do que R$ 103,00 daqui um mês, ou pagar 101,00 daqui um mês do que pagar R$ 100,00 agora.
 
Assim, a principal questão aqui é deslocar o dinheiro no tempo.
 
ANÁLISE DE ALTERNATIVAS – Quando se tem mais de uma alternativa de investimento, mesmo que seja na aquisição de um bem, é necessário comparar o dinheiro em datas iguais para poder tomar uma decisão. A data atual é mais utilizada e a comparação é feita obtendo-se o valor presente das várias alternativas do investimento.
 
Valor Presente (VP) - valor do investimento na data zero, ou seja, na data atual.
 
Valor Futuro (VF) – valor do investimento daqui a n períodos, considerando-se uma taxa de juros compostos compatível com o risco do investimento. Pode-se dizer que o capital é o VP de um investimento e os montantes são a cada período são VF do mesmo investimento.
 
Custo de oportunidade – é a taxa de de juros sobre o capital próprio, ou seja, no caso de a pessoa que contraiu a dívida não aplicar o dinheiro, deixará de auferir rendimentos de i% ao período de tempo determinado;
 
Valor à vista de um produto - é na prática a soma de todos os VP em suas parcelas, descontado pela taxa de juro do financiamento.
 
UMA OUTRA LEITURA PARA Cn = Co(1+i)n
 
A fórmula Cn = Co(1+i)n pode ser lida da seguinte forma: uma quantia igual a Co, hoje, será transformada, depois de n períodos de tempo, em uma quantia igual a Co(1+i)n , à taxa de i% ao período.
 
Por exemplo, um capital de R$ 1000,00 (hoje) equivalerá no futuro, depois de n períodos de tempo a 1000.(1+i)n.
 
FÓRMULA FUNDAMENTAL DA EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Pra obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1+i)n
Pra obter o valor presente, basta dividir o valor futuro por (1+i)n
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 
1 –Rosângela tomou emprestado R$ 300,00 a juros mensais de 12%. Dois meses depois, ela pagou R$ 150 000,00 e um mês após o pagamento, liquidou sua divida. Qual é o valor desse último pagamento?
 
Solução: R$ 300 000,00 na data 0 tem o mesmo valor de R$ 150 000,00 dois meses depois mais um pagamento igual a P na data 3. Vamos igualar os valores na mesma época (0, por exemplo) dos pagamentos e obtemos:
 
300000 = [150000/(1+0,12)2] + [P/(1+0,12)3] = [150000/1,2544] + [P/1,404928] =>
P/1,404928 = 300000 – [150000/1,2544] = 300000 – 119579,08 = 180420,92 => P/1,404928 = 180420,92 => P = 180420,92 . 1,404928 = 253478,40.
 
2 – Hélen tem duas opções de pagamento na compra de um televisor:
a) 3 prestações mensais de R$ 150,00 cada;
b) 7 prestações mensais de R$ 70,00 cada.
 
A primeira prestação é paga no ato da compra em ambos os casos. O dinheiro vale 2% ao mês para Hélen. Qual é a melhor opção de compra?
 
Solução: Para comparar os dois conjuntos e determinar os seus valores, vamos igualá-los na mesma época, por exemplo na época 2.
 
Os esquemas de pagamento são:
Época
Pagamento
 
Esquema 1
Esquema 2
0
R$ 150,00
R$ 70,00
1
R$ 150,00
R$ 70,00
2
R$ 150,00
R$ 70,00
3
 
R$ 70,00
4
 
R$ 70,00
5
 
R$ 70,00
6
 
R$ 70,00
 
Como vamos comparar os esquemas na mesma época, teremos:
 
V1 = 150(1+0,02)2 + 150(1+0,02) + 150
 
V2= 70(1+0,02)2 + 70(1+0,02)+70 + 70/(1+0,02)+ 70/(1+0,02)2 + 70/(1+0,02)3 + 70/(1+0,02)4.
 
Efetuando os cálculos obtemos V1= R$ 459,06 e V2= 448,80.
 
Você poderia ter pensado que o primeiro esquema é melhor, pois, o total pago seria R$ 450,00 e no segundo seria R$ 490,00. Porém, ao movimentar o dinheiro no tempo vimos que o esquema 2 é mais vantajoso. Portanto, é melhor para Hélen efetuar o pagamento em 7 prestações.
 
3 – Qual o valor futuro, após 4 anos, de um investimento de R$ 23000,00 a juros mensais de 2%.
 
Solução:
1+i = 1 + 0,02 = 1,02
n = 4 anos = 48 meses
VF = 23000.1,0248 = 59502,62
 
4 –Qual o valor presente de uma divida de R$ 1000,00 que deve ser paga em duas partes de R$ 500,00, sendo a primeira em 6 meses e a segunda em 1 ano? Considere o custo de oportunidade em 1,5% a.m.
 
Solução: Temos dois VP, portanto o VP é composto de duas parcelas, cada uma relativa ao desconto de um VF.
1+i = 1+0,015 = 1,015
VP1: n = 6 meses, então, 500 = VP1.(1,015)6 => VP1= 457,27
 
VP2: n = 12 meses, então, 500 = VP2.(1,015)12 => VP2= 418,19
 
VP = VP1 + VP2 = 457,27 + 418,19 = 875,46.
 
OBS.: Na pratica, tendo R$ 875,46 disponíveis hoje, e conseguindo uma remuneração de capital de 1,5% ao mês, quita-se a dívida nos prazos acertados e não sobra nem falta dinheiro.
 
5 – Obtenha o valor à vista de um produto vendido em 4 parcelas de R$ 50,00, com juros de 7% a.m.:
a) Sendo a primeira à vista (1+3);
b) Sendo a primeira daqui a um mês (0+4).
 
Solução: 1+i = 1+0,07 = 1,07
a) A soma do VP das 4 parcelas é: 50 + 50/(1,07)1 + 50/(1,07)2 + 50/(1,07)3 = 181,21 (A primeira parcela já é o VP, pois é paga à vista).
 
b) A soma do VP das 4 parcelas é:
50/(1,07)1 + 50/(1,07)2 + 50/(1,07)3 + 50/(1,07)4 = 169,36.
 
6 – Um vendedor de uma loja oferece três alternativas ao cliente na hora de vender um conjunto de sofás que está sendo oferecido pelo preço de tabela, R$ 800,00:
a)Em duas vezes sem juros de R$ 400,00;
b)Á vista, com 5% de desconto;
c)Em 4 parcelas sem entrada de R$ 210,00.
Qual a melhor alternativa para o cliente se a taxa de oportunidade é de 1,3%?
Solução: Pra saber qual a melhor alternativa precisamos obter o VP das três opções e escolher o menor.
Opção a: VP = 400 + 400/(1,013)1 = 794,87
Opção b: VP = 800.0,95 = 760,00
Opção c: VP = 210/(1,013)1 + 210/(1,013)2 + 210/(1,013)3 + 210/(1,013)4 = 813,40.
Portanto, a opção b é a melhor para esse cliente.
 
OBS.: As loja usam muito a expressão 'sem juros' para atrair os clientes, porém do ponto de vista matemático, se o preço à vista tiver desconto, então há juros embutidos na opção dita 'sem juros'.

Sobre o Autor

foto Everton Alves

Formação Acadêmica: Licenciatura em Matemática e faço Especialização em Educação Matemática ambos pela UEFS.

Outros Conhecimentos: Entendo um pouco de HTML, CSS, PHP (Codeigniter e wordpress) e MYSQL.

Outros: Sou funcionário público e nas horas vagas me dedico à programação. Programo em PHP desde 2008.

Plavras-chave: matematica, finaceiro, juros compostos,vp, vf, exercicios resolvidos, dinheiro no tempo, a vista
Enviado em: 23/07/2012 16h56min

Textos Relacionados

Razão e Proporção
24/07/2012 18h22min
Divisão Proporcional
26/07/2012 00h39min
Dossiê Petrobras III
23/06/2012 12h33min
Dossiê Petrobras IV
06/07/2012 14h14min
Dossiê Petrobras V
07/07/2012 09h51min

Comentários

Katarina Andrade - 21/06/2011 14h02min
Site muito bom. Aprendi muito com esse texto, agora quando for comprar ficarei atenta para essa questão.
Somente usuários cadastrados podem enviar comentários. Cadastre-se ou faça login

Área Restrita

Preencha o formulário para acessar sua conta de usuário.

Atendimento via CHAT

Tire suas dúvidas. Use o chat para ser atendido ao vivo!

chat

topo

Tweet