Números Racionais

 

1 – Introdução

 

 

Sendo a  e b dois números inteiros, com a condição de b não nulo, chama-se número racional ao quociente  a / b.

Assim, são exemplos de números racionais: 2/3, -3/5, 87/95,√4,3,33333..., etc.

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q. O uso da letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros.

Como todo número inteiro a pode ser escrito na forma a/1 = a, concluímos que todo número inteiro é também um número racional. Assim, é trivial perceber que o conjunto dos números inteiros está contido ou é um subconjunto do conjunto dos números racionais, ou seja: Z ⊂ Q.
 
Os números racionais podem também ser representados na forma de um número decimal, ou seja, na forma i,d onde i é a parte inteira e d a parte decimal.
Por exemplo, 4/5 = 0,8; 3/5 = 0,6; 2/3 = 0,6666...  ; 20/3 = 6,3333...; etc

Observe que todas as dízimas periódicas (também conhecidas como números decimais periódicos) são números racionais, uma vez que elas podem ser escritas na forma  a / b  com  b ≠ 0.
 
Exemplos:
 
1 – Escreva na forma a/b o número racional r = 1,25252525...
Sendo r = 1,252525..., multiplicando ambos os membros por 100, teremos: 100.r = 125,252525...
Subtraindo estas igualdades membro a membro, fica:
100r – r = 125,252525... – 1,252525... , de onde tiramos: 99.r = 124, e, portanto, r = 124/99.

2 – Escreva na forma a/b a dízima periódica s = 2,0353535...
Sendo s = 2,0353535..., multiplicando ambos os membros por 10, teremos: 10.s = 20,353535... 
Multiplicando ambos os membros da igualdade anterior por 100, teremos:
100.10s = 100.20,353535...
1000.s = 2035,353535...
Subtraindo membro a membro a segunda da primeira igualdade, vem:
1000.s – 10.s = 2035,353535...  - 20,353535... Þ 990.s = 2015, e, portanto, s = 2015/990
Quando o número racional está representado na forma a/b onde a  e  b são inteiros, com b não nulo, costumamos denominar  a  de numerador  e  b  de denominador, sendo o número a/b conhecido como fração ordinária.
 
2 - Frações                                                                     
O símbolo b|a significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: a/b de fração; a de numerador eb de denominador. Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural.
 
Exemplo: A fração 8/2 é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, 8/2 é um número natural e 8 é múltiplo de 2.
 
2.1 - O significado de uma fração
Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de a/b?
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
 
Exemplo: Roberval comeu 3/4 de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes: as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.
 
       
 
2.2 - Como se lê uma fração
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... um meio ½; dois quintos 2/5; um terço 1/3; quatro sétimos 4/7; um quarto ¼; sete oitavos 7/8; um quinto 1/5; quinze nonos 15/9; um sexto 1/6; um décimo 1/10; um sétimo 1/7; um centésimo 1/100; um oitavo 1/8; um milésimo 1/1000; um nono 1/9; oito milésimos 8/1000.

2.2.1 - Classificação das frações
Fração própria: o numerador é menor que o denominador. Ex: 1/5; 3/7...
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. Ex: 3/2; 2/2...
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex: 9/3; 4/2...
 
2.2.2 - Frações equivalentes
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo: 3/5 e 6/10 são equivalentes
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: obter frações equivalentes à fração 1/2.
Portanto as frações 2/4; 8/16 são algumas das frações equivalentes a 1/2.
 
2.2.3 - Simplificação de frações
Uma fração equivalente a 6/8, com termos menores, é 3/4. A fração 3/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 6/8 pelo fator comum 2. Dizemos que a fração 3/2 é uma fração simplificada de 6/8.
A fração 3/4 não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração 3/4 não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum
 
2.2.4 - Números fracionários
Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença 5 . X = 1
abaixo verdadeira?
Substituindo X, temos: X por 0 temos: 5.0 = 0; X por 1 temos: 5.1 = 5.
Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.
Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.
Portanto, uma fração 1/n = x (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário x.
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = 1/5, pois 5.1/5 = 1 .
 
2.2.5 - Adição e subtração de números fracionários
Temos que analisar dois casos:
 
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Ex: 1/2 – 3/2 = (1 – 3)/2 Þ -2/2 = -1.
 
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações 3/5 e
1/2. Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.          
4/5 + 5/2 = [(10:5). 4 + (10:2). 5] = (8 + 25)/10 = 33/10
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
 
2.2.6 - Multiplicação e divisão de números fracionários
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: 2/3.4/5 = (2.4)/(3.5) = 8/15
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: (1/2):(3/5) = 1/2.5/3 =(1.5)/(2.3) = 5/6
2 - Propriedade fundamental das frações:
Uma fração ordinária não se altera, se multiplicarmos o seu numerador e denominador, por um mesmo número diferente de zero. Assim é que: a / b = a. n / b. n para n diferente de zero.
Exemplo: 2/3 = 4/6 = 8/18 = 24/54 = ... , etc

Notas:
1 – Se o denominador de uma fração ordinária for  igual a 10 (ou a uma potencia de dez), ela é conhecida como fração decimal. Exemplos: 3/10; 625/1000.

2 – Um número racional da forma a/100 é conhecido como porcentagem e indicado simbolicamente por a% .

Exemplos: a) 25 / 100 = 25 %        b) 75 / 100 = 75 %        c) 1 / 100 = 1 %

Usando uma terminologia comumente aceita, se a < b, dizemos que a fração é própria e se a > b , dizemos que a fração é imprópria. Se a for um múltiplo de b, a fração a/b será um número inteiro e a fração é dita aparente. Assim, por exemplo, 5/7 é uma fração própria, 9/5 é uma fração imprópria e 10/5 = 2 é uma fração aparente. Saliente-se que trata-se apenas de uma terminologia consagrada pelo uso, sem nenhum sentido prático e, eu diria, talvez até inútil.

É importante acrescentar que o conjuntos dos números racionais é denso e infinito, ou seja, dados dois números racionais  r1 e r2, sempre existirá um número racional r tal que  r1 < r < r2 .
Por exemplo, entre os números inteiros 7 e 8 não existe nenhum outro número inteiro, porém existe um número infinito de números racionais entre eles. 7,1; 7,9; 7,0045; 7,999;... Etc são apenas alguns dos infinitos exemplos possíveis.
 
3 – Operações com números racionais

3.1 - Adição e subtração
Sejam os números racionais a/b  e  c/d  onde  a, b, c  e d são números inteiros com b e d ≠ 0. 
A soma e a subtração destes números racionais, obedecem à seguinte regra:
(a/b) ± (c/d) =  (ad±bc)/(bd)
Observe que se os denominadores  b  e  d  forem iguais, a igualdade acima 
se reduz a:
(a/b) ± (c/b) = (a±c) / b.
 
Que é um caso particular da expressão geral.
Ou seja: para somar duas frações de mesmo denominador, adicionam-se os numeradores e mantém-se o denominador comum.
 
Exemplos:

a) (2 / 5) - (1 / 5) = (2 - 1) / 5 = 1 / 5

b) (4 / 3) + (8 / 3) = (4 + 8) / 3 = 12 / 3 = 4

c) (2 / 5) + (3 / 4) = (2 . 4 + 5 . 3) / (5 . 4) = 23 / 20

d) (5 / 3) – (3 / 4) = (5 . 4 – 3 . 3) / (3 . 4) = 11 / 12
 
 

 

3.2 - Multiplicação
Sejam os números racionais  a / b  e  c / d  onde  a, b, c  e  d  são números inteiros com b  e  d  diferentes de zero. A multiplicação obedece à seguinte  regra geral: (a/b) . (c/d) = (a.c)/(b.d)
Ou seja, para multiplicar duas frações, multiplicamos entre si, os numeradores e os denominadores.
Exemplos:

a) (2 / 3) . (5 / 7) = (2 . 5) / (3 . 7) = 10 / 21
b) (3 / 4) . (7 / 6) = (3 . 7) / (4 . 6) = 21 / 24

Observe que a fração 21 / 24, pode ser simplificada, dividindo-se numerador e denominador por 3, resultando  7 / 8.

3.3 - Divisão
Sejam os números racionais  a / b  e  c / d  onde  a, b, c  e  d  são números inteiros com b  e  d  diferentes de zero. A divisão obedece à seguinte  regra geral: (a/b) : (c/d) = (a/b) . (d/c) = (a.d) / (b.c)
A regra é então comumente enunciada como: para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda. Justificativa: Seja a fração F = (a/b):(c/d). Pela propriedade fundamental das frações, vista no início do texto, poderemos multiplicar  o numerador e denominador por (d / c), resultando: F = (a/b).(d/c):(c/d).(d/c). Simplificando a expressão acima, lembrando que (c/d).(d/c) = 1, vem, finalmente que F = (a/b).(d/c) = (a.d)/(b.c), conforme indicado na fórmula acima.

Exemplos:

a) (2 / 3) : (4 / 5) = (2 /3) . (5 / 4) = (2 . 5) / (3 . 4) = 10 / 12 = 5 / 6.
b)  (3 / 7) : (2 / 9) = (3 / 7) . (9 / 2) = (3 . 9) / (7 . 2) = 27 / 14
 
3.4 - Potenciação

(a/b)n = an/bn para b diferente de zero.

Exemplo: (2/5)3 = 23/53 = 8/125

4 – Exercícios resolvidos

1 – Calcule 3/5 de 60.

Solução: 3/5 de 60 = (3/5) . 60 = (3 . 60) / 5 = 180 / 5 = 36.

2 – Calcule 3/5 de 2/3.

Solução: 3/5 de 2/3 = (3/5) . (2/3) = (3.2) / (3.5) = 6 / 15 = 2 / 5.

3 – Calcule 2/5 dos 3/4  de 40.

Solução: 2/5 dos 3/4 de 40 = (2/5).(3/4) . 40 = (2.3.40) / (5.4) = 240 / 20 = 12.

4 – Calcule 30 % de 70.

Solução: 30 % de 70 = (30 / 100) . 70 = (30.70) / 100 = 2100 / 100 = 21.

5 – Calcule 15 % de 60 %.

Solução: 15 % de 60 % = (15/100) . (60 / 100) = (15.60) / (100.100) = 900 / 10000. Mas, 900 / 10000 = 9 / 100 = 9 % .

6 – Calcule 3/2 dos 0,121212... de 33 %  de  2400. Resposta: 144

7 – Calcule 35% de 0,3333...

Solução: 0,3333... = 3/9 => 35%.(3/9) = (35/100).(3/9) = 105/900 = 0,1166667  

Sobre o Autor

foto Everton Alves

Formação Acadêmica: Licenciatura em Matemática e faço Especialização em Educação Matemática ambos pela UEFS.

Outros Conhecimentos: Entendo um pouco de HTML, CSS, PHP (Codeigniter e wordpress) e MYSQL.

Outros: Sou funcionário público e nas horas vagas me dedico à programação. Programo em PHP desde 2008.

Plavras-chave: matematica, numeros, conjuntos, operações
Enviado em: 00/00/0000 00h00min

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