Teoria dos números - Exercícios de Equações Diofantinas

Informações:
(a) ax + by = c tem solução se e somente s c for múltiplo do mdc(a, b).
(b) se x0 e y0 é uma solução particular de ax + by = c, então x = x0 + (b/d)t e y = y0 - (a/d)t, com t um inteiro qualquer e d = mdc(a, b), são soluções de ax + by = c.

01 – Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares: Neste item resolveremos apenas os das letras (a) e (d) pois o processo de resolução é repetitivo.

a) 56x + 72y = 40
Solução:
Calculando o mdc(72, 56)

72 = 56.1 + 16
56 = 16.3 + 8
16 = 8.2 + 0
8 = 56 – 16.3 = 56 – (72 –56.1).3 = 56.4 – 72.3  = 56.(4) + 72(-3)
Temos: 40 = 8.5 = 56.(4.8) + 72.(-3.5) = 56.(32) + 72(-15).
Solução particular: xo = 32 e yo = -15.
Todas as soluções:- x = 32 + (72/8)t = 32 + 9t e y = -15 - (56/8)t = -15 - 7t.
Resposta: -x = 32 + 9t e y = -15 – 7t

(b) 24x + 138y = 18 Resposta: x = 18 + 23t y = -3 – 4t

(c) 221x + 91y = 117 Resposta: x = -18 + 7t e y = 45 – 17t

(d) 84x – 438y = 156
Solução:
mdc(438, 84) ⇒ 438 = 84.5 + 18; 84 = 18.4 + 12; 18 = 12.1 + 6; 12 = 6.2 + 0
6 = 18 – 12.1 = 18 – (84 – 18.4).1 = 18.5 – 84.1 = (438 – 84.5).5 – 84.1 = 84(-26) + 438(5) = 84(-26) – 438(-5)
156 = 6.26 = 84(-26.26) – 438(-5.26) = 84(-676) – 438(-130)
Solução particular: xo = -676 e yo = -130
Soluções: x = -676 + (-438/6)t = -676 + 73t y = -130 – (84/6)t = -130 – 16t.
Resposta: -x = -676 - 73t y = -130 – 16t.


(e) 48x + 7y = 5 Resposta:- x = -5 + 7t y = 35 – 48t

(f) 57x – 99y = 77 Resposta: não tem solução pois mdc(57, 99) = 3 e 31 não é múltiplo de 3

(g) 11x + 30y = 31 Resposta: x = 11 + 30t y = -3 – 11t


(h) 27x – 18y = 54 Resposta: x = 2 - 2t y = - 3t (note que x = 2 e y = 0 é solução imediata)

(i) 13x – 7y = 21 Resposta: x = -7t y = -3 – 13t ( x = 0 e y = -3 é solução imediata)


(j) 44x + 66y = 11 Resposta: não tem solução pois mdc(44, 66) = 22 e 11 não é múltiplo de 22


(k) 21x – 12y = 72 Resposta: x = -4t y = -6 - 7t (x = 0 e y = -6 é solução imediata)

(l) 17x + 54y = 8 Resposta: x = 10 + 54t y = -3 – 17t


02 – Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:

(a) 5x – 11y = 29.
Solução:

Encontrando o mdc 11 = 5.2 + 1 ⇒ mdc (5, 11) = 1.
Para 5x – 11y = 1 temos a solução imediata x = -2 e y = -1.
Para 5x – 11y = 29, teremos x = -2.29 = - 58 e y = -1.29 = -29
As demais soluções inteiras são das formas x = -58 + (-11/1)t = -58 - 11t e y = -29 – (5/1)t = -29 – 5t.
Como as soluções devem ser positivas:
- 58 - 11t > 0 ⇒ -11t > 58 ⇒ 11t < -58 ⇒ t < - 58/11 ou t < -6 ( t deve ser inteiro)
-29 – 5t > 0 ⇒ -5t > 29 ⇒ 5t < -29 ⇒ t < -29/5 ⇒ t < -6
Resposta:- as soluções inteiras e positivas são:
x = -58 – 11t e y = -29 – 5t, para t inteiro e t < -6

(b) 32x + 55y = 771
Solução: mdc(32, 55) = 1

55 = 32.1 + 23; 32 = 23.1 + 9; 23 = 9.2 + 5; 9 = 5.1 + 4; 5 = 4.1 + 1
1 = 5 – 4.1 = 5 – (9 – 5.1).1 = 5.2 – 9.1 = (23 – 9.2).2 – 9.1 = 
= 23.2 – 9.5 = 23.2 – (32 – 23.1)5 =
= 23.7 – 32.5 = (55 – 32.1).7 – 32.5 = 32.(-12) + 55(7)
771 = 771.1 = 32(-12.771) + 55.(771.7) = 32.(-9252) + 55(5397)
Solução geral: x = -9252 + (55/1)t = -9252 + 55t e y = 5397 – (32/1)t = 5397 – 32t
Para soluções positivas -9252 + 55t > 0 ⇒ t > 168 e 5397 – 32t > 0 ⇒ t < 168 ⇒ não é possível. Portanto, não existem soluções positivas.

Os demais itens são resolvidos pelo mesmo procedimento anterior. Por esse motivo deixaremos a cargo do leitor a solução e daremos apenas as respostas. Você poderá encontrar resposta diferente. Nesse caso faça a verificação da resposta encontrada na equação .

(c) 58x – 87y = 290. Resposta: x = 8 - 3t; y = 2 - 2t, onde t > 0

(d) 62x + 11y = 788. Resposta: x = 1, y = 66 e x = 12, y = 4.

(e) 30x + 17y = 300. Resposta: Não tem soluções positivas.

(f) 54x + 21y = 906. Resposta: x = 2, y = 38; x = 9, y = 20; x = 16, y = 2


(g) 123x + 360y = 99. Resposta: Não tem soluções positivas.


(h) 158x – 57y = 7. Resposta: x = 17 – 57t, y = 47 – 158t, onde t < 0.

 

3 – Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, respectivamente.
Solução:
Seja n o número inteiro positivo. Pelo algoritmo da divisão temos: n = 8x + 6 e n = 15y + 13. Como n é positivo, os quocientes x e y devem ser positivos.
Assim, 8x + 6 = 15y + 13 ⇒ 8x – 15y = 13 – 6 ⇒ 8x – 15y = 7.
Uma solução particular imediata dessa equação é x = -1 e y = - 1.
O menor valor de n será obtido ao tomar o menor valor de x e y que satisfaça a equação 8x – 15y = 7. A solução geral da equação 8x – 15y = 7 é:  x = -1 + (-15/1)t  = -1 – 15t  e  y = -1 – (8/1)t = -1 – 8t. (mdc(8,15) = 1)

Como x e y devem ser ambos positivos:

-1 – 15t > 0 ⇒ t < -1/15   e –1 – 8t < 0 ⇒ t < -1/8.  Para satisfazer as duas condições,  t < -1/8.  O menor valor  positivo de x e de y ocorre então para t = -1. Portanto: x = -1 –15(-1) = 14  e y = -1 – 8(-1) = 7.
Portanto n = 8.14 + 6 = 118  ou n = 15.7 + 13 = 188. Resposta: 188.

4 – Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.
Solução:
De acordo com o enunciado, sejam 7x e 11y os dois inteiros positivos.
Temos então  7x + 11y = 100. Resolvendo 7x + 11y = mdc(7,11) = 1 temos:
11 = 7.1 + 4; 7 = 4.1 + 3; 4 = 3.1 + 1
1 = 4 – 3.1 = 4 – (7 – 4.1)1 = 4.2 – 7.1 = (11 – 7.1)2 – 7.1 = 7(-3) + 11.(2)
Como 100 = 100.1 temos 100 = 7(-3.100) + 11(2.100) = 7(-300) + 11(200)
As soluções são: x = -300 + 11t    e y = 200 – 7t.  
Como x e y são inteiros positivos  -300 + 11t > 0 ⇒ t > 300/11 > 27 e  200 – 7t > 0 ⇒ t < 200/7 ⇒ t < 29. Portanto, t = 28. Neste caso temos x = -300 + 11.28 = 8  e y = 200 – 7.29 = 4. Os números são 7x = 7.8 = 56   e 11.4 = 44. Resposta: 56 e 44.

5 – Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a 305/221.
Solução:
Sejam x/13 e y/17 as frações. Temos então   x/13 + y/17 = (17x + 13y)/221 = 305/221. A solução consiste em encontrar os menores valores de x e y , inteiros positivos, que satisfaçam a igualdade
17x + 13y = 305 = 305.1 = 305mdc(17, 13)
17 = 13.1 + 4; 13 = 4.3 + 1
Temos 1 = 13 – 4.3 = 13 – (17 – 13.1).3 = 17(-3) + 13(4)
305 = 17(-3.305) + 13(4.305) = 17(-915) + 13(1220).
As soluções são: x = -915 + 13t e y = 1220 – 17t. Como x e y são inteiros positivos, x > 0 e y > 0, resulta -915 + 13t > 0 ⇒ t > 70 e 1220 – 17t > 0 ⇒ t < 72 ⇒ t = 71. Portanto, x = -915 + 13.71 = 8 e y = 1220 – 17.71 = 13. Resposta:- Para as frações temos 8/13 e 13/17.

06 – Demonstrar que se a e b são inteiros positivos primos entre si, então a equação diofantina ax – by = c têm um número infinito de soluções inteiras e positivas.
Solução:
A solução geral da equação ax – by = c é x = x0 + (-b/d)t e y = y0 – (a/d)t onde x0 e y0 é uma solução particular e d = mdc(a, b).
As soluções serão positivas se x0 + (-b/d)t > 0 ⇒ x0 –(b/d)t > 0 ⇒ (b/d)t < x0 (b e d são positivos) ⇒ t < x0.d/b e y0 – (a/d)t > 0 ⇒ t < y0d/a. Como t é menor que os dois valores, existem infinitos valores para t e por conseguinte, uma infinidade de soluções inteiras e positivas para a equação. Cqd.

Sobre o Autor

foto Everton Alves

Formação Acadêmica: Licenciatura em Matemática e faço Especialização em Educação Matemática ambos pela UEFS.

Outros Conhecimentos: Entendo um pouco de HTML, CSS, PHP (Codeigniter e wordpress) e MYSQL.

Outros: Sou funcionário público e nas horas vagas me dedico à programação. Programo em PHP desde 2008.

Plavras-chave: Matematica, Teoria dos Números, Algébra, Equações Diofantinas
Enviado em: 00/00/0000 00h00min

Comentários

Pierre - 14/10/2011 07h29min
Legal amigo mas acho que vc se equivocou na resolução do primeiro item , veja: até aqui está perfeito: (4) 56 + (-3) 72 = 8 para que o 8 se torne 40 é preciso multiplicar tudo por 5 (20) 56 + (-15 ) 72 = 40 então uma solução possível (20,-15) e não ( 32, -15). Sei que foi uma bobeira sua, não me interprete mal é so pra vc corrigir la. Sua postagem foi de grande validade pra mim! obrigado abraço
Everton Alves [Resposta] - 14/10/2011 07h49min
Olá, Pierre, obrigado por sua participação e contribuição no nosso site. Entretanto, essas questões não foram resolvidas por mim, mas pelo professor EDGARD DE ALENCAR FILHO no livro TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS, como consta no resumo de cada liosta respondida.
Somente usuários cadastrados podem enviar comentários. Cadastre-se ou faça login

Área Restrita

Preencha o formulário para acessar sua conta de usuário.

Atendimento via CHAT

Tire suas dúvidas. Use o chat para ser atendido ao vivo!

chat

topo

Tweet